速度の2乗に比例する空気抵抗を持つ放物運動の解析解は、無い

速度の2乗に比例する空気抵抗を持つ放物運動の解析解は、無い速度の2乗に比例する空気抵抗を持つ放物運動の解析解は、無い。


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放物運動

[F] 速度の2乗に比例する空気抵抗を持つ放物運動
解析解の有無: ×

軌道が書ける求積法による解析解は存在しない。
ホドグラフ解は知られている。

[F] 速度の2乗に比例する空気抵抗を持つの放物運動(運動方程式)

[F-1] 求積法による解
 速度の2乗に比例する空気抵抗を持つ放物運動の軌道を描くことができる解析解を求積法で求めることはできない[2]。つまり初等力学の未解決問題の1つである。

[F-2] ホドグラフの解
 速度の大きさとその水平からの角度の関係を表すホドグラフの厳密解は存在する。ただし、軌道を描くためのx,y,tを求めるための積分を解析的に実行することはできない。最近ホドグラフ解を解説した教科書は少ない。参考文献[4]がくわしい。ホドグラフ法の解は1711年にベルヌーイにより見出されたという情報もある。式で説明

[F-3]数値解
 ルンゲ・クッタ法など簡単な数値計算法で数値解を求めることは簡単である。

[F-4]微小投射角近似解
 投射角が微小のときに成立し、高精度な解である。摂動法から作られている。y=f(x)の形に解が整理されていて便利である。誰が最初の理論を作ったのか不明だが、少なくとも1923年時点で知られていて参考文献[5]に詳しく解説されている。読者の方でご存知の方は情報を教えていただける助かます。投射角が小さいときの解なので時間が経ち、水平からの角度が大きくなると誤差が大きくなる。式で説明

[F-5]Parkerの解(1977)[6]
 short time近似解は上記微小投射近似解と同じものであり、long time近似解が示してある。これは物体の角度が水平から90度近くになったときの解である。どちらも摂動法により求められている。式で解説

[F-6]坪井の解(1996)[7]
 この解は投射角が小さいものとし、かつ空気抵抗と質量の比が小さいとし摂動法を適用している。Parkerの解とは別の解を与えている。文献[8]もあげておく。式で解説

[F-7]Chudinovの解(2001-2004)[9][10][11][12]
 ホドグラフ解を発展させている。投射角の制限はない。軌道がy=f(x)の形で与えられ、最大到達距離が最大の投射角、そのときの最大高さやそのxも位置などが求まり、解として理想的である。ただし、数値積分を行う必要があり、数値解の1つであると解釈できる[13]。

[F-8]級数解
 投射角に因らない摂動法による級数解(形式解)をつくることはできるが、この解はわずかな時間で有効な解で投射してすぐに発散する。解析解は、その解の形をみればその解の性質が分かるところが利点の1つであるが、級数解(解析解の1つ)からそのような解の性質を見出すことはできない。式で解説

[F-9]ホモトピー解析法による解
 本ウェブページの作者らは2007年、ホモトピー解析法を用いてすぐに発散する級数解の延長を試み、物体が投射後地面に着くまでの軌道を求めることができた[14]。この解には投射角の制限はない。しかしながらその解はべき級数解であり、解の観察から解の性質を見出すことは難しい。また、その解は延長されているが、べき級数解であるので有限の時間の解であり、いつかは解は発散する。

[2] 原島鮮 : 力学I, 裳華房, 1973

[3] 藤原邦男 : 物理学序論としての力学, 東京大学出版会, 1984

[4] 後藤憲一, 詳解力学演習, 共立出版

[5] Lamb H : Dynamics (London: Cambridge University Press) p 294 ,1923

[6] Parker G W : Projectile motion with air resistance quadratic in the speed American Journal of Physics 45 606, 1977

[7] Tsuboi K : On the optimum angle of takeoff in long jump Trans. Japan Soc. Ind. Appl. Math. 6 393, 1996

[8] 坪井一洋 : 着地時の重心低下を考慮した走り高跳びの最適踏切角、日本機械学会論文集C 743 , 1841, 2008

[9] Chudinov P S : The motion of a point mass in a medium with a square law of drag, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 65, 3, 421-426, 2001

[10] Chudinov P S : The Motion of a Heavy Particle in a Medium with Quadratic Force, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation 3 2 121-129, 2002

[11] Chudinov P S : An optimal angle of launching a point mass in a medium with quadratic drag force, Indian J. Phys. 77B (4), 465-468, 2003

[12] Chudinov P S : Analytical investigation of point mass motion in midair, Eur. J. Phys., vol. 25, 73-79, 2004

[13] http://leonhard.cocolog-nifty.com/eulerian/2008/05/chudinov_6c20.html

[14] Kazuki Yabushita, Mariko Yamashita and Kazuhiro Tsuboi : An analytic solution of projectile motion with the quadratic resistance law using the homotopy analysis method, Journal of Physics A Mathematical and Theoretical, 40, 8403-8416, 2007

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